引擎技術漫遊指南：紋理與mipmap
我們先從兩個簡單的問題入手：
什麼是紋素？
紋素是一個紋理的最小顆粒，即一個大小1024 * 1024 大小的紋理，它包含1024 * 1024 個紋素。
什麼是像素？
像素顯示設備上的最小顆粒，即一個大小1024 * 1024 大小的屏幕，它包含1024 * 1024 個像素。像素的多少與密度，決定了這塊屏幕分辨率的大小。
像素與紋素看起來非常相似，只不過一個主體是物理設備，一個主體是一張圖片。
在日常生活中的很多情況下，我們通常不會對像素與紋素概念做區分，我們也經常會說一張圖片的大小是 xxx 像素。但是在遊戲的概念中，這兩個概念很多時候都不應該被混淆。
舉個例子，假設一塊 4k 分辨率屏幕上，正正好好鋪滿了一張 4k 大小的圖片。此時紋理的紋素數量與屏幕的像素數量之比為 4k:4k = 1:1，即一個紋素對應一個像素。那麼如果此時將屏幕變更為 2k 分辨率的屏幕呢？此時紋理的紋素數量與屏幕的像素數量之比為 4k:2k = 2:1 即兩個紋素對應一個像素，此時像素明顯是不夠用的。
紋理顯示在屏幕上時，最理想的狀態就是每個屏幕像素對一個紋素。但是這並不現實，攝像機距離紋理的遠近決定了紋素對應像素的多少。當紋素對應像素的比例在某些值時，紋理在屏幕上顯示出奇怪的效果。
左：無mipmap；右：mipmap
miamap 機制會提前按照特定算法，生成不同縮放比例的紋理，並且根據紋素與屏幕像素的比例，來選擇不同縮放比例的紋理，儘量將紋素像素比維持在一個合理的大小。
左 128*128；中 64*64；右 32*32
由上圖可知:
mipmap0(128 * 128) ÷ 2 = mipmap1(64 *64)
mipmap0(128 * 128) ÷ 4 = mipmap2(32 *32)
mipmap 等級遞進（尺寸縮小）是以 2 的冪為係數的。
現在我們假設，一張 128*128 尺寸的紋理顯示在屏幕上 128*128 大小的區域中，此時紋素像素比為1。
然後我們將攝像機拉遠，直至該紋理顯示區域大小變為 64*64，此時紋素像素比為 128/64 = 2，即兩個紋素對應一個像素，這種情況下，我們理想的狀態是將紋理切換成 mipmap1，也就是尺寸為 64*64 的紋理，即一個紋素對應一個像素。換個角度就是說我們要將原始紋理大小縮小2倍，即 2的1次冪（mipmap1）。
繼續推算，當紋理顯示區域大小為32*32，我們可以計算出，原始紋理大小要縮小4倍，即2的2次冪（mipmap2）。
以此類推我們可以得到一個結論，我們會按照上述計算方式，選擇結果中2的冪數作為mipmap等級。
實際計算中，為了確認紋素與像素比，我們必然要提前計算兩個像素之間對應的紋素差值，還是上述例子，一張 128*128 尺寸的紋理顯示在屏幕上 64*64 大小的區域中，此時紋素與像素比值為 2:1，即兩個紋素對應一個像素，那麼兩個像素之間對應的紋素位置值（uv * 紋理分辨率）的差值即為2。
這種計算差值的操作，可以使用 gpu 提供的方法dFdx 與 dFdy （偏導數函數）來實現，如下圖：
gpu 在渲染像素時，都是以 2*2 大小的像素塊為最小單位進行的（上圖中紅色塊），這就為偏導數計算提供了前提條件。每一塊 2*2 的像素塊中的相鄰像素會共同計算偏導數，然後這個偏導數會在這兩個相鄰的像素成員中共享。
在 shader 中計算偽代碼如下：
為了更直觀的理解上述 shader 中的計算方法，我們可以以下圖為參考：
如圖，我們假設這是一個 6 * 4 = 24 大小的顯示器，灰框表示像素；這個屏幕上要顯示一張 6 * 8 = 48 大小的紋理，紅色數字表示紋素的編號。此時紋素與像素比為 48:24 = 2:1，即兩個紋素對應一個像素，所以圖中一個灰框中有兩個數字。我們假設被標記為綠色像素為 gpu 最小渲染單位：一組 2*2 像素塊。
由藍色框標出的數字相減，我們便得到一個值為 2 的橫向偏導數（ddx），這個偏導數的值代表了相鄰像素對應的紋素之間的差值，即兩個相鄰像素間相差多少紋素。
為了計算 mipmap 的 level 值，我們將的得到的偏導數值導入公式 ㏒b(Xⁿ)，此公式計算時，偏導數由向量的點乘得到，原因是因為 uv 可能導致偏導數為負，所以使用向量對自身的點乘，得到向量長度的平方值。結合數值與這個公式 ㏒b(Xⁿ) ，即：
frag_size = 2 * 2 = 4
㏒2(√4) = ㏒2(4½) = 0.5 * ㏒2(4) = 0.5 * 2 = 1
所以我們要取 mipmap1 為最適合當前狀況的紋理等級。
